Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0， ）为圆心，作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连结AM并延长交⊙M于点P，连结PC交x轴于点E，连结DB，∠BDC=30°.

（1）求弦AB的长；

（2）求直线PC的函数解析式；

（3）连结AC，求△ACP的面积.

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）CD⊥AB，CD为直径，弧AC=弧BC，所以∠AMO=2∠P=2∠BDC=60°，

由MA=MC，得△MAC是等边三角形，MA=AC=MC，x轴⊥y轴，∠MAO=30°，AM=2OM=，

由勾股定理得：AO=3，由垂径定理得：AB=2AO=6．

（2）连接PB， AP为直径，PB⊥AB ,所以PB=AP=,P(3, ),又MA=AC,AO⊥MC,可得,OM=OC=, 所以C(0, ),设直线PC的解析式是y=kx+b，把P(3, ), C(0, )代入求得k,b的值,从而得解析式为.

（3）已求得P(3, ), 所以, .

试题解析：（1）∵CD⊥AB，CD为直径，

∴弧AC=弧BC，∴∠AMO=2∠P=2∠BDC=60°，

∵MA=MC，∴△MAC是等边三角形，

∴MA=AC=MC，

∵x轴⊥y轴，

∴∠MAO=30°，

∴AM=2OM=，

由勾股定理得：AO=3，

由垂径定理得：AB=2AO=6．

（2）连接PB，

∵AP为直径，

∴PB⊥AB ∴PB=AP=

∴P(3, )

∵MA=AC,AO⊥MC

∴OM=OC=

C(0, )

设直线PC的解析式是y=kx+b，代入得：解得:k=,b=-

∴.

（3）P(3, ),  .

考点：1. 勾股定理.2. 垂径定理.3.待定系数法求解析式.