Question

将一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放，点E, A, D, B在一条直线上，且D是AB的中点，将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转（0°＜＜90°）角，在旋转过程中，直线DE与AC相交于点M，直线DF与BC相交于点N，分别过点M, N作直线AB的垂线，垂足分别为G, H.

（1）当=30°时（如图2），求证：AG=DH;

（2）当=60°时（如图3），（1）中的结论是否仍成立？请写出你的结论，并说明理由.

Answer

见解析.

【解析】

试题分析：（1）由α=30°知∠ADM=30°，∠A=30°，所以∠ADM=∠A．AM=DM．又由MG⊥AD于G，可得:AG= AD．又有∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，证得△CDB是等边三角形．又CH⊥DB于H，DH= DB．根据直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半得:BC= AB．由BC=BD，所以有AD=DB．从而证得AG=DH．

（2）在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，可得△AMD≌△DNB，所以AM=DN．在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，又可证得△AMG≌△DNH．

∴AG=DH．

试题解析：（1）∵α=30°，∴∠ADM=30°，

∵∠A=30°，∴∠ADM=∠A．

∴AM=DM．

又∵MG⊥AD于G，

∴AG= AD．

∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，

∴△CDB是等边三角形．

又∵CH⊥DB于H，

∴DH= DB．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC= AB．

∵BC=BD，∴AD=DB．

∴AG=DH．

（2）结论成立．理由如下：

在△AMD与△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，

∴△AMD≌△DNB，

∴AM=DN．

又∵在△AMG与△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，

∴△AMG≌△DNH．

∴AG=DH ．

考点：1.等边三角形的判定.2.直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半.3. 全等三角形判定和性质.