Question

如图，AB是⊙O的直径，，M是弧AB的中点，OC⊥OD，△COD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与⊙O分别交于P、Q两点．

（1）求证：；

（2）连接PM、QM，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，∠PMQ是否为定值？若是，求出∠PMQ的大小；若不是，请说明理由；

（3）连接EF，试探究：在△COD绕点O旋转的过程中，△EFM的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由

Answer

（1）证明见解析；（2）是，135°；（3）存在，9.

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得弧MB=弧MA，于是可判断△AMB为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；

（2）根据圆周角定理得到∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，则∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP）=45°，所以∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=135°；

（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+6，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=3，所以△EFM的周长的最小值为9．

试题解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AMB=90°，

∵M是弧AB的中点，

∴，

∴MA=MB，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴∠ABM=∠BAM=45°，∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=×6=6，

∴∠MOE+∠BOE=90°，

∵∠COD=90°，

∴∠MOE+∠MOF=90°，

∴∠BOE=∠MOF，

在△OBE和△OMF中，

，

∴△OBE≌△OMF（SAS），

∴OE=OF；

（2）【解析】
∠PMQ为定值．

∵∠BMQ=∠BOQ，∠AMP=∠AOP，

∴∠BMQ+∠AMP=（∠BOQ+∠AOP），

∵∠COD=90°，

∴∠BOQ+∠AOP=90°，

∴∠BMQ+∠AMP=×90°=45°，

∴∠PMQ=∠BMQ+∠AMB+∠AMP=45°+90°=135°；

（3）【解析】
△EFM的周长有最小值．

∵OE=OF，

∴△OEF为等腰直角三角形，

∴EF=OE，

∵△OBE≌△OMF，

∴BE=MF，

∴△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+BE+ME=EF+MB=OE+6，

当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=×6=3，

∴△EFM的周长的最小值为3+6=9．

考点: 圆的综合题.