Question

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；

（3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标.

Answer

（1）y=x2-4x+3；（2）存在，；（3）（2，2-）或（2，2+）.

【解析】

试题分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；

（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．

试题解析：：（1）抛物线的对称轴为直线x=

∵点A（1，0），

∴点B的坐标为（3，0），

∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，

∴点C的坐标为（0，3），

∴，

解得，

∴此抛物线的解析式y=x2-4x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则

，

解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

∴PQ=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-）2+，

∵点Q在x轴下方，

∴1＜x＜3，

又∵-1＜0，

∴当x=时，PQ的长度有最大值；

（3）如图，设△ABC的外接圆的圆D，

则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，

∴点D的坐标为（2，2），

∴外接圆的半径为，

∵OB=OC，

∴∠ABC=45°，

∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，

点M在点D的下方时，M1（2，2-），

点M在点D的上方时，M2（2，2+），

综上所述，M（2，2-）或（2，2+）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．

考点: 二次函数综合题.