Question

如图,在梯形中,,．点,,分别在边,,上,．

（1）求证：四边形是平行四边形;

（2）当时,求证：四边形是矩形．

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）要证明该四边形是平行四边形,只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC=∠C,和等腰梯形的性质得到∠B=∠C．则∠B=∠GFC,得到AE∥FG．

（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形,只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°,结合∠FGC=2∠EFB和∠GFC=∠C,得到∠BFE+∠GFC=90°．则∠EFG=90°．

试题解析：（1）∵在梯形ABCD中,AB=DC,

∴∠B=∠C．

∵GF=GC,

∴∠C=∠GFC,

∴AB∥GF,即AE∥GF．

∵AE=GF,

∴四边形AEFG是平行四边形;

（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°,∠GFC=∠C,∠FGC=2∠EFB,

∴2∠GFC+2∠EFB=180°,

∴∠BFE+∠GFC=90°．

∴∠EFG=90°．

∵四边形AEFG是平行四边形,

∴四边形AEFG是矩形．

考点：1.梯形,2.平行四边形的判定,3.矩形的判定．