Question

如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

Answer

（1）相切，理由见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据圆周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判断△ADB为等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，则有OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；（2）由BE∥AD，DE∥AB得到四边形ABED为平行四边形，则DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD求得图中阴影部分的面积.

试题解析：（1）DE与⊙O相切. 理由如下：

如图，连接OD，则∠ABD=∠ACD=45°.

∵AB是直径，∴∠ADB=90°. ∴△ADB为等腰直角三角形.

∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB.

∵DE∥AB，∴OD⊥DE. ∴DE为⊙O的切线.

（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形.

∴DE=AB=8cm.

∴.

考点：1.圆周角定理；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.切线的判定；5.平行四边形的判定和性质；6.扇形面积的计算；7.转换思想的应用.