Question

某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合。三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.

（1）求证：DP＝DQ；

（2）如图，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP＝3:4，请帮小明算出△DEP的面积。

Answer

（1）证明见解析；（2）猜测：PE=QE. 证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）证明△ADP≌△CDQ，即可得到结论：DP=DQ；（2）证明△DEP≌△DEQ，即可得到结论：PE=QE；（3）与（1）（2）同理，可以分别证明△ADP≌△CDQ、△DEP≌△DEQ。在Rt△BPE中，利用勾股定理求出PE（或QE）的长度，从而可求得，而△DEP≌△DEQ，所以S△DEP=S△DEQ= .

试题解析：（1）∵∠ADC=∠PDQ=90°，∴∠ADP=∠CDQ.

在△ADP与△CDQ中，∵，∴△ADP≌△CDQ（ASA）. ∴DP=DQ.

（2）猜测：PE=QE. 证明如下：

由（1）可知，DP=DQ.

在△DEP与△DEQ中，∵，∴△DEP≌△DEQ（SAS）。∴PE=QE.

（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，∴AP=8，BP=2.

与（1）同理，可以证明△ADP≌△CDQ，∴CQ=AP=8.

与（2）同理，可以证明△DEP≌△DEQ，∴PE=QE.

设QE=PE=x，则.

在Rt△BPE中，由勾股定理得：BP2+BE2=PE2，即：，解得：，即QE= .

∴.

∵△DEP≌△DEQ，∴S△DEP=S△DEQ= .

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.转换思想的应用.