Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，弦AC=，△ACD为等边三角形，CD、AB相交于点E．

（1）求∠BAC的度数；

（2）求⊙O的半径；

（3）求CE的长．

Answer

（1）30°；（2）2；（3）．

【解析】

试题分析：(1)由直径所对圆周角为90°可以得到∠ACB=90°，再由圆周角定理得到∠D=∠B=60°，从而得到∠BAC的度数为30°；

（2）由∠BAC=30°，∠ACB=90°，用三角函数可以求出AB的长，进而求出半径的长；

（3）由△ACD为等边三角形，得到∠ACD=60°，又因为∠CAB=30°，所以∠AEC=90°，从而求出CE的长．

试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵△ADC为等边三角形，∴∠ACD=∠D=60°，∵∠B=∠D，∴∠B=60°，∴∠BAC=30°；

（2）∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴cos∠BAC=，∴，解得：AB=4，∴⊙O的半径=2；

（3）∵∠BAC=30°，∠ACD=60°，∴∠AEC=90°，∴CE=AC=.

考点：1．圆周角定理；2．等边三角形的性质；3．锐角三角函数的定义；4．含30度角的直角三角形．