Question

如图，⊙O的直径=6cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．

(1)若30°，求PC的长；

(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，你认为∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的值．

Answer

（1）PC=；（2）∠CMP=45°，即∠CMP的大小不发生变化．

【解析】

试题分析：（1）在圆中线段利用由切线定理求得∠OCP=90°，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合解直角三角形求得PC即可．

（2）先根据切线的性质得到∠OCP=90°，再利用角平分线和圆周角的性质得到2∠A+2∠APM=90，即∠A+∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和可知∠CMP=∠A+∠APM=45°，所以∠CMP的大小不发生变化．

试题解析：

【解析】
（1）连接，

PC是⊙O的切线，

∴∠OCP=90°．

∵30°，OC==3，

∴，即PC=．

（2）∠CMP的大小不发生变化．

∵PM是∠CPA的平分线，

∴∠CPM=∠MPA．

∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．

在△APC中，

∵∠A＋∠ACP＋∠CPA=180°，

∴2∠A＋2∠MPA=90°，∠A＋∠MPA=45°．

∴∠CMP=∠A＋∠MPA=45°．即∠CMP的大小不发生变化．

考点：1.圆的切线的性质定理的证明；2.角平分线的性质．