Question

如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm²）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．

（1）求点Q运动的速度；

（2）求图2中线段FG的函数关系式；

（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点Q运动的速度是1cm/s；（2）；（3）存在，t=或t=.

【解析】

试题分析：（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S△APQ=，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；

（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；

（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值；当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值．

试题解析：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．此时如答图1所示：

AQ边上的高h=AB•sin60°=6×=cm, S=S△APQ= AQ•h=AQ×3=,解得AQ=3cm. ∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：

点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．

因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18-2t）×,

S=S△APQ=AD•PE=×6×（−+）=.

∴FG段的函数表达式为：S=（6≤t≤9）．

（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=18,

当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．

此时△APQ的面积S=AQ•AP•sin60°=t•2t×=,

根据题意，得=,

解得：t=s,

当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．

此时，有S梯形ABPQ=S菱形ABCD，即（2t-6+t）×6×=×18,

解得t=s,

答：存在，当t=或时，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．

考点：1、相似形综合题；2、动点问题的函数图象．