Question

如图，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于E，交于D，点A是优弧上的动点(不与B、C重合)，BC=，ED=2．

（1）求⊙O的半径；

（2）求cos∠A的值及图中阴影部分面积的最大值.

Answer

（1）4；（2），.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用垂径定理易得BE的长，在Rt△OBE中，设半径为R，利用勾股定理得到关于R的方程，解方程即可求得半径长；

（2）在Rt△BOE中，根据锐角三角函数定义可求得，根据圆周角定理可得，从而求得cos∠A的值；因为弓形BD的面积不变，所以当△ABD的面积最大时，阴影部分的面积最大，即点A在线段BD的中垂线上时阴影部分面积的最大，从而连接BD，过O作MN⊥BD，垂足为N，交优弧于点M，连接MB、MD，根据即可求得图中阴影部分面积的最大值.

试题解析：（1）如图，连接OB.

∵OD⊥BC，∴.

设⊙O的半径为R，则，

在Rt△OEB中，OB2=OE2+BE2，即，解得R=4.

（2）在Rt△BOE中，∵ ，∴.

∵∴  .   

连接BD，过O作MN⊥BD，垂足为N，交优弧于点M，连接MB、MD.

当点A运动到点M时，阴影部分的面积最大.

∵，∴△BOD是等边三角形. ∴BD=4.

又∵ON⊥BD，∴.

∵，，

∴.

考点：1. 动点形成的最值问题；2.垂径定理；3. 勾股定理；4.垂径定理；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值；7.圆周角定理；8.扇形面积的计算；9.转换思想的应用．