Question

如图，BC是半圆的直径，ADBC，垂足为点D，弧BA=弧AF，BF与AD交于点E．

（1）求证：AE=BE；

（2）若点A、F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连AC，BC为直径，则∠BAC=90°，AD⊥BC，得∠C=∠BAE．由=，可得∠C=∠ABF，所以∠ABE=∠BAE，从而证得AE=BE；

（2）A，F把半圆三等分，则∠ACB=30°，由BC=12，得到AB=6，则AC=，所以AD=，由∠BAD=30°，得到∠ABE=∠DBE=30°，故BD=3，DE=．

解答：（1）证明：连AC，如图，∵BC为直径，则∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAE+∠ABC=90°，∴∠C=∠BAE，由=，可得∠C=∠ABF，∴∠ABE=∠BAE，∴AE=BE；

（2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB=30°，在直角三角形ABC中，BC=12，则AB=BC=6，AC=AB=．在直角三角形ADC中，AD=AC=．∴AD=，∵∠C=∠ABF，∠ABE=∠BAE，∴∠ABE=∠BAE=30°，∠BED=30°，∴BD=3，ED=，∴AE=BE=．

考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．含30度角的直角三角形．