Question

如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（-4，0），B（1，0），C（-2，6）.

（1）求经过点A，B，C三点的抛物线解析式．

（2）设直线BC交y轴于点E，连结AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连结AD交BC于点F，求证：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，并求：．

Answer

（1）；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析，．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；

（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；

（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出是否等于即可作出判断．

试题解析：（1）设函数解析式为：，由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），

可得，解得：，故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：，即直线BC的解析式为．故可得点E的坐标为（0，2），从而可得：AE=，CE=，故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：设直线AD的解析式为y=kx+b，则，解得：，即直线AD的解析式为．联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，解得：，即点F的坐标为（，），则BF=，又∵AB=5，BC=，∴，，∴，又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA．故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，=．

考点：二次函数综合题．