Question

二次函数y=一x²+ax+b图象与轴交于,两点，且与轴交于点.

（1）则的形状为                  ；

（2）在此抛物线上一动点,使得以四点为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为                      .

Answer

【解析】

试题分析：（1）∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，利用待定系数法就可以直接求出a、b的值，求出抛物线的解析式．

（2）在（1）题已将证得∠ACB＝90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑：

①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．

②以AC、BP为底，BC为高；方法同①．

【解析】
（1））∵二次函数y＝-x2+ax+b的图象经过、B（2，0）两点，由题意，得

，解得：，

∴抛物线的解析式为：

∴C（0，1），

∴，

CB2＝BO2+CO2＝5，

，

∴AC2+CB2＝AB2，

∴△ACB是直角三角形；

（2）存在，点或；

若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底；

∵B（2，0），C（0，1），

∴直线BC的解析式为：；

设过点B且平行于AC的直线的解析式为，

将点代入得：，；

∴；

联立抛物线的解析式有：，解得，或；

∴点；

若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底，

同理可求得；

故当或时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形．

（根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可）

考点：二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）；直角梯形．