Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0,4），C（2,0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135º，得到矩形EFGH（点E与O重合）．

（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM=      ，OM=      ．

（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．

①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；

②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t≤4－2时，S与t之间的函数关系式．

Answer

详见解析.

【解析】

试题分析：（1）由旋转可得出∠AOF＝135°，再由矩形的内角为直角得到一个角为直角，利用∠AOF-∠AOC求出∠COF的度数，再由∠MOC为直角，由∠MOC-∠COF即可求出∠MOF的度数；由∠MOF的度数为45°，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出三角形OHM为等腰直角三角形，由OH＝MH＝2，利用勾股定理即可求出OM的长；

（2）①如图所示，当AD与BO平行时，由AB与DO平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABOD为平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AB＝DO＝2，由平移可知：∠HEM＝45°，可得出∠OMD＝∠ODM＝45°，即三角形ODM为等腰直角三角形，得到OD＝OM，由OD的长求出OM的长，由三角形HEM为等腰直角三角形，且直角边长为2，利用勾股定理求出EM的长，用EM-OM即可求出平移的距离，即为t的值；

②分三种情况考虑：（i）如图1所示，当0＜t＜2时，重叠部分为等腰直角三角形，由平移的距离为t，得到等腰直角三角形直角边为t，利用三角形的面积公式即可表示出S；（ii）如图2所示，当时，重叠部分为直角梯形，表示出上底，下底及高，利用梯形的面积公式表示出S即可；（iii）如图3所示，当时，重叠部分为五边形，由梯形面积-三角形面积，表示出S即可．

试题解析：

【解析】
（1）如图所示：

由旋转可得：∠AOF＝135°，又∠AOC＝90°，

∴∠COF＝∠AOF-∠AOC＝45°，又∠MOC＝90°，

∴∠FOM＝45°，又OF∥HG，

∴∠OMH＝∠FOM＝45°，又∠H＝90°，

∴△OHM为等腰直角三角形，

∴OH＝HM＝2，

则根据勾股定理得：；

（2）①如图所示：连接AD，BO

∵AD∥BO，AB∥OD，

∴四边形ADOB为平行四边形，

∴DO＝AB＝2，

由平移可知：∠HEM＝45°，

∴∠OMD＝∠ODM＝45°，

∴OM＝OD＝2，由平移可知：，∴矩形EFGH平移的路程；

②分三种情况考虑：

（i）如图1所示，当0＜t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形，此时OE＝t，则重叠部分面积

（ii）如图2所示，当时，重叠部分为直角梯形，

此时

（iii）如图3所示，当时，E点在A点下方，重叠部分为五边形，此时 

综上，．

考点：相似形综合题；矩形的性质；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．