Question

如图，在直角坐标系中，以点A(,0)为圆心，以为半径圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E.

（1）若抛物线经过点C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；

（2）在（1）中的抛物线的对称轴上有一点P，使得△PBD的周长最小，求点P的坐标；

（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1），在；（2）；（3）存在，（，12）.

【解析】

试题分析：（1）由已知条件先求出C，D两点的坐标，再把其横纵坐标分别代入抛物线的解析式求出b，c，再将点B坐标代入检验即可；（2）BD的长为定值，所以要使△PBD周长最小，只需PB+PD最小，连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点；（3）设Q（ ，t）为抛物线对称轴x= 

上一点，M在抛物线上，要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，再分①当点M在对称轴的左侧时和①当点M在对称轴的右侧时，讨论即可.

试题解析：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0），B（，0）.

又在Rt△AOD中，OA=，∴OD=. ∴D.

又∵D，C两点在抛物线上，∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

又∵当时，，

∴点B（，0）在该抛物线上.

（2）∵，∴抛物线的对称轴方程为：x=.

∵BD的长为定值，∴要使△PBD周长最小，只需PB+PD最小.

连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点，

设直线DC的解析式为y=mx+n，，解得.

∴直线DC的解析式为.

在中令x=得y=. ∴P的坐标为.

（3）存在，

设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上，

要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，且点M在对称轴的左侧，

过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x，t），由BC=QM得QM=4，从而x=，t=12.

故在抛物线上存在点M（，12）使得四边形BCQM为平行四边形.

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.轴对称的应用（最短线路问题）；6. 平行四边形的判定．