Question

小明和同桌小聪在课后做作业时，对课本中的一道作业题，进行了认真探索．

【作业题】如图1，一个半径为100m的圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，测得圆周角∠C=45°，求桥AB的长．

小明和小聪经过交流，得到了如下的两种解决方法：

方法一：延长BO交⊙O与点E，连接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=；

方法二：作AB的弦心距OH，连接OB， ∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB， ∴HB=，∴AB=．

感悟：圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角﹑半径建立一个关系式．

（1）问题解决：受到（1）的启发，请你解下面命题：如图2，点A（3，0）、B（0，），C为直线AB上一点，过A、O、C的⊙E的半径为2．求线段OC的长．

（2）问题拓展：如图3，△ABC中，∠ ACB=75°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF， 设⊙O半径为x， EF为y．①y关于x的函数关系式；②求线段EF长度的最小值．

Answer

（1）；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）根据方法一，延长OE交⊙O于点F，连接CF，即可得到∠F=60°，从而求出OC的长；

（2）①根据方法一，容易求出y与x的关系，②由①知，EF是半径的倍，所以只需求出半径（或直径AD）的取值范围即可．由于D是BC边上的动点，故AD最大为AB=，最小为△ABC的边BC上的高．

试题解析：（1）∵tan∠OAB=，∴∠OAB-60°，延长OE交⊙O于点F，连接CF，∴∠F=∠OAB=60°，OF=4，∴OC=．

（2）①∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，∴∠BAC=60°，延长EO交⊙O于点G，连接GF，

∴∠G=∠BAC=60°，∵⊙O半径为x， EF为y，∴；

②作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵∠ABC=45°，∴BH=AH，∵AB=，AH=2，∵AD=EG=，∴2≤AD≤，即，∵，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y最小，为．

考点：1．解直角三角形；2．圆周角定理；3．三角形内角和定理．