Question

如图1，已知抛物线y=－x²+bx+c经过点A（1,0），B（－3,0）两点，且与y轴交于点C.

(1) 求b，c的值。

(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.

(3) 如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B,C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．

Answer

(1) ；（2）点P坐标为(，)，最大＝；（3） (，)  .

【解析】

试题分析：(1)将A、B两点坐标代入即可求出；

(2)假设存在一点P（x，），则△PBC的面积可表示为.从而可求出△PBC的面积最大值及点P的坐标；

(3)根据题意易证，所以，当OE最小时，△OEF面积取得最小值，点E在线段BC上,  所以当OE⊥BC时，OE最小此时点E是BC中点，因此 E(，)  .

试题解析：(1)  b=－2，c= 3

(2)存在。理由如下：

设P点

∵

当时，       ∴最大＝ 

当时，

∴点P坐标为(，)

(3)∵∴,而, ,

∴, ∴ 

∴ 

∴当最小时，面积取得最小值.

∵点在线段上,  ∴当时，最小.

此时点E是BC中点

∴ (，).