Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°．

（1）求⊙O的半径；

（2）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）2；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据垂径定理得CE的长，再根据已知DE平分AO得CO=AO=OE，解直角三角形求解．

（2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．

试题解析：（1）∵直径AB⊥DE，∴CE=DE=．∵DE平分AO，∴CO=AO=OE．又∵∠OCE=90°，∴sin∠CEO==，∴∠CEO=30°．在Rt△COE中，OE==．∴⊙O的半径为2．

（2）连接OF．在Rt△DCP中，∵∠DPC=45°，∴∠D=90°﹣45°=45°．∴∠EOF=2∠D=90°．∴S扇形OEF=．∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，∴SRt△OEF=×OE×OF=2．∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=．

考点：1．扇形面积的计算；2．线段垂直平分线的性质；3．解直角三角形．