Question

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①请直接写出图1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4～6），且，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？（写出你的判断，不必证明.）

（3）在图5中，连结DG、BE，且，则　       　.

Answer

（1）①BG=DE， BG⊥DE；②BG=DE， BG⊥DE仍然成立，证明见解析；（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立；（3）25．

【解析】

试题分析：（1）四边形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．然后得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE；（2）依题意得出AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka的线段比例，然后再推出∠CDE+∠DHO=90°即可；（3）依题意得出BE2+DG2=BD2+GE2，从而可求解．

试题解析：（1）①BG=DE， BG⊥DE；（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立；（3）

②BG=DE， BG⊥DE仍然成立．对图（2）的证明如下：

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCG=∠DCE.

∵在△BCG与△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）. ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE.

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°.∴∠DOH=90°.∴BG⊥DE．

（2）BG⊥DE成立，BG=DE不成立．简要说明如下：

∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，且AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka（a≠b，k＞0），

∴，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCG=∠DCE. ∴△BCG∽△DCE. ∴∠CBG=∠CDE.

又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°.∴∠DOH=90°.∴BG⊥DE．

（3）如图，连接BD，FG，

∵BG⊥DE，∴OB2+OD2=BD2，OE2+OG2=GE2，OB2+OE2=BE2，OG2+OD2=DG2.

∴BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2.

又∵，∴BD2+GE2＝42+22+22+12＝25.

∴BE2+DG2＝25．

考点：1.动点问题；2.正方形的性质；3.矩形的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；勾股定理．