Question

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点O在斜边AB上，半径为2的⊙O过点B，且切AC边于点D，交BC边于点E，

求：（1）弧DE的长； (结果保留π)

（2）由线段CD，CE及弧DE围成的阴影部分的面积。(结果保留π和根号)

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OD、OE，一方面根据切线的性质和直角三角形两锐角的关系求得∠AOD=600，另一方面根据等边三角形的判定和性质得出∠BOE =600，从而求得∠DOE =600，根据弧长公式即可求得DE弧长；

（2）用梯形OECD和扇形ODE的面积差来求出阴影部分的面积．

试题解析：（1）如图，连接OD、OE，

∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，即∠ADO=90°.

∵∠C=90°，∠A=30°，OD=2，∴OA=4，∠AOD=∠B=600.

又∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形. ∴∠BOE =600. ∴∠DOE =600.

∴DE弧长为.

（2）∵∠C=90°，∠A=30°，OD=2，∴OA=4. ∴AB=6. ∴BC=3 ，AC=3，AD=2，CD=.

∴．

考点：1. 切线的性质；2. 直角三角形两锐角的关系；3. 等边三角形的判定和性质；4.扇形弧长和面积公式；3.转换思想的应用.