Question

已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把弧 CA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）

（1）求证：△OMD≌△BAO；

（2）若直线把⊙M的周长和△OMD面积均分为相等的两部份，求该直线的解析式.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接BM，根据三等份，求出∠1、∠5、∠3、∠2的度数，推出∠1=∠3，根据直径求出∠OBA=∠DOM=90°，根据AAS求出全等即可；

（2）根据面积二等份，推出直线过M和（0，）点，求出OM，得出M的坐标，代入解析式求出即可．

试题解析：（1）连接BM，

∵B、C把弧OA三等分，∴∠1=∠5=60°.

∵OM=BM，∴∠2=∠5=30°.

∵OA为圆M的直径，∴∠ABO=90°. ∴AB=OA=OM，∠3=60°. ∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°.

在△OMD和△BAO中，，

∴△OMD≌△BAO．

（2）若直线把圆M的面积分为二等份，则直线必过圆心M.

∵D（0，3），∠1=60°，OD=3， tan60°=，∴，即.

∴M（，0）.

把M（，0）代入y=kx+b，得，

又直线平分面积，必过点（0，）代入得：，

二者联立解得：.

∴直线为.

考点：1.圆周角定理；2.解二元一次方程组；3.直线上点的坐标与方程的关系；4.三角形的面积；5.全等三角形的判定和性质；6.圆心角、弧、弦的关系．