Question

如图，抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为            时，四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为                 时，四边形PQAC是等腰梯形. (利用备用图画图，直接写出结果，不写求解过程)．

（3）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标

Answer

（1），（1，4）；（2）（2，3）；（）；（3）四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为（）.

【解析】

试题分析：（1）将抛物线的解析式设为交点式，可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式，将其化为顶点式即可求得顶点D的坐标.

（2）①如图1，四边形PQAC是平行四边形时，

∵CP∥x轴，点P在抛物线上，∴点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称.

∵C(0，3)，∴P（2，3）.

②如图2，四边形PQAC是等腰梯形时，设P（m，），

过点P作PH⊥x轴于点H，则H（m，0）.

易得△ACO∽△QNP，∴.

∵OA=1，OC=3，HP=，∴，即.

∴AQ=AO+OH－QH=。∴.

又由勾股定理得，.

由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，

∴，整理得，解得或.

当时，由①知CP∥AQ，四边形PQAC是平行四边形，不符合条件，舍去.

当时，CP与AQ不平行，符合条件。∴P（）.

（3）求出直线BD的解析式，设定点P的坐标，由列式，根据二次函数最值原理，即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标.

试题解析：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，

∴可设抛物线的解析式为.

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交于点C(0，3)，

∴，解得.

∴抛物线的解析式为，即.

又∵，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）.

（2）（2，3）；（）.

（3）设直线BD的解析式为，

由B（3，0），D（1，4）得，解得.

∴直线BD的解析式为.

∵点P在直线PD上，∴设P（p，）.

则OA=1，OC=3，OM= p，PM=.

∴ .

∵，∴当时，四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为（）.

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.平行四边形的判定；6.等腰梯形的判定；7.相似三角形的判定和性质勾股定理；8.解一元二次方程.