Question

已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P．设⊙O的半径为r．

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE•OP=；

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立， 理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）要证等积式，需要将其化为比例式，再利用相似证明. 观察图形，此题显然要连半径OF，构造OE、OP所在的三角形， 这样问题便转化为证明△FOE∽△POF.  而要证明△FOE∽△POF，由于已经存在一个公共角，因此只需再证明另一角对应相等即可，这一点利用圆周角定理及其推论可获证.（2）同（1）类似.

试题解析：（1）连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.

∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.

∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.

∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF. ∴. ∴OE·OP＝OF2＝r2.

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，（1）中的结论成立. 理由如下：

依题意画出图形（如图），连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.

∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°. ∴∠M＋∠CFM＝90°.

∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.

∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.

∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE. ∴. ∴OE·OP＝OF2＝r2.

考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定和性质；3.三角形内角和定理.