Question

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB,AC相交于D点，双曲线y= （x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①菱形OABC的面积为80；    ②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y= （x＞0）；   ④,其中正确的结论有（       ）个。

A．1      B．2     C．3       D．4

Answer

C.

【解析】

试题分析：过点C作CF⊥x轴于点F，由OB•AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB•AC=160即可求出OB的长．

过点C作CF⊥x轴于点F，

∵OB•AC=160，A点的坐标为（10，0），

∴，菱形OABC的面积为80，故①正确；

又菱形OABC的边长为10，

∴CF=

在Rt△OCF中，

∵OC=10，CF=8，

∴，

∴C（6，8），

∵点D时线段AC的中点，

∴D点坐标为（，），即（8，4），

∵双曲线y=（x＞0）经过D点，

∴4=，即k=32，

∴双曲线的解析式为：y=（x＞0），故③错误；

∵CF=8，

∴直线CB的解析式为y=8，

∴，解得x=4，y=8，

∴E点坐标为（4，8），故②正确；

∵CF=8，OC=10，

∴，故④正确；

故选C．

考点: 反比例函数.