Question

如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E。

（1）求证: DE是⊙O的切线；

（2）若, DE=6, 求⊙O的直径。

Answer

（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

试题分析：（1）连OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DE．

（2）由∠C的余弦值得到∠C的度数，接着可得到三角形BOD是等边三角形，由此得三角形ABC也是等边三角形．求出DC就可得到AB．

试题解析：（1）证明：如图，连接OD；

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∵O为AB中点，D为BC中点，

∴OD为△ABC的中位线．

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠DEC=90°．

即OD⊥DE．

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线．

∵，

∴∠C=60°．

∵OD∥AC，

∴∠BDO=∠C=60°．

∵OD=OB，

∴∠B=∠ODB=60°．

∴△ABC为等边三角形．

∵在△EDC中，∠DEC=90°，DE=6，

∴DC＝4

∵D为BC中点，

∴BC＝2DC＝8．

∴AB=8．

∴⊙O的直径为8

考点: 切线的判定．