Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）P（1,2），；（3）.M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

【解析】

试题分析：(1)直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．

(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．

(3)由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．

试题解析：(1)将A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得：

，解得：

∴抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3．

（2）y＝－x2＋2x＋3的对称轴x=1，设点P为（1，p）

因为对称轴垂直平分AB，所以：PA=PB.

△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB

其中

当点B、P和C三点共线时，PC+PB存在最小值：

直线BC：y=-x+3，点P在直线BC上：p=-1+3=2

所以点P为（1,2），此时△PAC的周长最小值为

(3)抛物线的解析式为：x＝－＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，则：

MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10；

①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：

m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1；

②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：

m2＋4＝10，得：m＝±；

③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：

m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；

当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

考点: 二次函数综合题.