Question

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer

（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【解析】

试题分析：（1）根据每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）同时满足，根据函数图象的性质知道，随的增大而减小，当时，该函数有最大值时，有最小值500.

试题解析：（1）当时，，，

∴政府这个月为他承担的总差价为600元。

（2）依题意得，，

，

∴当时，有最大值4000.

∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：，

解得：，.

，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当时，.

又，∴当时，w≥3000.

设政府每个月为他承担的总差价为元，.

，随的增大而减小.

∴当时，有最小值500.

∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.