Question

如图，一次函数y=kx+n的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D.

（1）试确定这个一次函数解析式；（3分）

（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式；（6分）

（3）请你利用所求抛物线的图像回答：当x取何值时，抛物线中的部分图像落在x轴的上方？ （3分）

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）根据A、B的坐标用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）根据A、B的坐标求出AB的长，即可求出AD的值，然后在Rt△ACD中根据∠DAC的余弦值求出AC的长，即可求出OC的长也就能求出C点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）由于抛物线开口向上，与x轴的交点为A，C，所以当或时，抛物线中的部分图像落在x轴的上方.

试题解析：（1）∵一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，），

∴，解得.

∴这个一次函数关系式为.

（2）根据A、B的坐标可得OA=6，OB=，∴AB=，∠BAO=30°.

∵CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=.

在Rt△ACD中，AD=，∠BAO=30°，∴，OC=OA－AC=2. ∴C（2，0）.

设抛物线的解析式为，将B点坐标代入后得：.

∴抛物线的解析式为：，即.

（3）当或时，抛物线中的部分图像落在x轴的上方.

考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.线段垂直平分线的性质；6.锐角三角函数定义；7.特殊角的三角函数值.