Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.

（1）求证：线段AB为⊙P的直径；

（2）求△AOB的面积；

（3）如图2，Q是反比例函数图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，求证：DO·OC=BO·OA．

Answer

（1）证明见解析；（2）24；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等.

试题解析：（1）∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，

∴AB是⊙P的直径.

（2）设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），

∵点P是反比例函数（x＞0）图象上一点，∴mn=12.

如图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n.

∴.

（3）若点Q为反比例函数（x＞0）图象上异于点P的另一点，

参照（2），同理可得：.

∴，即.

∴DO•OC=BO•OA.

考点：1.反比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.圆周角定理；4.垂径定理.