Question

将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n].

（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S_△AB′C′：S_△ABC=____；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为______度；

（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；

（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n的值.

Answer

（1） 3，60；（2）60°，2；（3）72°，.

【解析】

试题分析：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，∴S△AB′C′：S△ABC=，∠B=∠B′，

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°；（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值，（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案.

试题解析：（1） 3；60.

（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°.

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．

在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°.

∴AB′=2 AB，即.

（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′.

又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°.

∴∠C′AB′=∠BAC=36°.

而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA. ∴AB：BB′=CB：AB. ∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）.

而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），解得，.

∵AB＞0，∴.

考点：1.新定义；2.旋转的性质；3.矩形的性质；4.含300角直角三角形的性质；5.平行四边形的性质；6.相似三角形的判定和性质；7.公式法解一元二次方程.