Question

如图，已知点A (2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上.

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.

Answer

（1），4；（2）；（3）D（3，0）或（，0）．

【解析】

试题分析：（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值；（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式；（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、AC、B′C的长，在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC，根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标．

试题解析：（1）由于抛物线经过A （2，4）和点B （1，0），则有：

，解得.

（2）由（1）得：，

由A （2，4）、B （1，0），根据勾股定理可得，

若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）.

故抛物线需向右平移5个单位，即：.

（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4，

∵A（2，4），B′（6，0），∴直线AB′：.

当x=4时，y=1，故C（4，1）. ∴AC=3，B′C=，BC=.

由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C.

若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：

①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：，即，∴B′D=3，此时D（3，0）；②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：即，∴，此时D（，0）.

综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．

考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5. 菱形的性质；6.等腰三角形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用．