Question

如左图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S_△AEC=2S_△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD²＝CE·AB．其中正确结论的序号(    )

A. ①④             B.  ①②④          C.  ①③④           D. ③④

Answer

A.

【解析】

试题分析：根据圆的有关性质以及相似三角形的判断和性质进行解答.

①∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠CAD＝ADO，又∵∠AEC＝∠DEO，∴△AEC∽△DEO，∴.∵0C⊥AO，∴∠AOC＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，∴AC＝AO，∵OD＝OA，∴AC＝OD，∴＝2，∴S△AEC=2S△DEO；

②连接BD，BC，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴AC＝BC.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB，∵CD＝BD，在△BCD中，CD＋BD＞BC，∴2CD＞BC，又∵BC＝AC，∴2CD＞AC；

③∵OA＝OD，∴△AOD是等腰三角形，且∠AOD＝135°，但△ODE不是等腰三角形，∴△AOD与△ODE不相似，因此无法证明OD²＝DE×AD，即无法证明线段OD是DE与DA的比例中项；

④∵0C⊥AO，∴∠AOC＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝45°，∴∠CDA＝∠AOC＝45°，∵CD＝BD，∴∠COD＝∠BOD＝∠BOC＝45°，∴∠CDE＝∠COD，又∵∠ECD＝∠DCO，∴△CDE∽△COD，∴，∴CD²＝CO·CE，又∵CO＝AB，∴CD²＝AB·CE，∴2CD²＝AB·CE.

故选择A.

考点：1圆的性质，2相似三角形的判定和性质.