Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y件与销售单价x元符合一次函数y=kx＋b，且x=65时，y=55 当x=75时，y=45.

（1）求一次函数y=kx＋b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W元与销售单价x之间的关系式；销售单间定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.

Answer

（1）y＝－x＋120；（2）W＝－（x－90）²＋900，87，891；（3）70≤x≤87.

【解析】

试题分析：（1）把x=65，y=55、 x=75，y=45代入一次函数y=kx＋b，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；（2）根据题意，总利润＝每一件服装的利润×销售量，每件服装的利润＝每件服装的售价－每件服装的成本＝x－60，据此代入计算，然后根据二次函数的性质计算最大值即可；（3）根据题意把W＝500代入（2）中的函数关系式，然后利用二次函数的图象及其性质即可解答.

试题解析：

（1）当x=65时，y=55时代入y=kx＋b中，得:55＝65k＋b，

当x=75时，y=45时代入y=kx＋b中，得:55＝65k＋b，

解之得：k＝－1，b＝120，

∴y＝－x＋120.

（2）W＝(x－60)(－x＋120)＝－（x－90）²＋900，

∴W＝－（x－90）²＋900，

∵a＝－1＜0，

∴当x＝90时，W最大值为900.

又∵获利不得高于45%，

∴x≤60＋60×45％，即x≤87.

∴把x＝87代入W＝－（x－90）²＋900中，

∴W＝－（87－90）²＋900＝891，

∴当销售定价定为87元时，商场获得的利润最大，最大利润为891元.

（3）把W＝500代入W＝－（x－90）²＋900中，

－（x－90）²＋900＝500，

解之得:x1＝70，x2＝110.

∴当70≤x≤110时，W≥500，

又∵x≤87，

∴当70≤x≤87时，商场获得的利润不少于500元.

考点：1待定系数法求一次函数的表达式，2二次函数的应用.