Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。

(1)求证：AC平分∠DAB；

(2)连接BC，证明∠ACD=∠ABC；

(3)若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的长。

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论．

（2）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因为∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，所以∠ACD=∠ABC；

（3）在直角△ABC中，利用三角函数求得AC的长，然后在直角△CAD中，利用三角函数即可求得CD的长．

试题解析：连接OC，

∵直线l与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB．

（2）∵直线l与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，

∴∠ACD=∠ABC；

（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

∴直角△ABC中，AC=AB•sinA=12×=，∠BAC=30°

∴在直角△CBD中，∠CBD=∠BAC=30°，CD=AC=．

考点: 1.切线的性质；2. 圆周角定理．