Question

如图，在△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，点P从点B开始沿BC边向C以1cm/s的速度移动，点Q从C点开始沿CA边向点A以2cm/s的速度移动。

(1)求⊙O的半径；

(2)若P、Q分别从B、C同时出发，当Q移动到A时，P点与⊙O是什么位置关系？

(3)若P、Q分别从B、C同时出发，当Q移动到A时，移动停止，则经过几秒，△PCQ的面积等于5cm²？

Answer

(1)2；（2）P点在⊙O上；（3）1.

【解析】

试题分析：（1）连接AO、BO、CO,利用面积法易求出⊙O的半径；

（2）设⊙O与三角形三边的切点分别为D、E、F，易求各段的长度，再求出Q点运动的时间，即可判断P点的位置；

（3）设经过t秒.分别用含有t的代数式表示PC、CQ代入三角形面积计算公式即可求出t的值.

试题解析：（1）在Rt△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，由勾股定理得AB=10cm,

设⊙O的半径为r，则有：S△ABO+ S△BOC+ S△AOC=AC×BC

即AB×r+BC×r+AC×r==AC×BC

所以r=2cm

（2）如图，⊙O与三角形三边的切点分别为D、E、F，设BD=BE=xcm，则CD=CQ=(6-x)cm,AQ=AE=(2+x)cm.

∴2+x+x=10

∴x=4即BD=4cm.

点Q从C到A的时间为：8÷2=4（分钟）

∴P运动到点D，即P点在⊙O上；

（3）设经过t秒，则PC=(6-t)cm,CQ=2t.

又△PCQ的面积等于5cm2

∴(6-t)×2t=5

解得t=1或t=5（大于4s，故舍去）

考点: （1）圆的切线；（2）一元二次方程.