Question

如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．

①当旋转角为多少度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，BD′与CD′相等？并给予证明．

Answer

(1)详见解析；（2）①旋转角为60°；②当AC=2AB时，BD′=CD′，证明详见解析.

【解析】

试题分析：(1)容易证明⊿ABE≌⊿ADC,从而得证.(2)①由已知条件得∠BAD=60°，∠CAE=60°，所以∠DAE=60°，所以当AD′落在AE上时，旋转角为60°.②若BD′=CD′,则必有∠D′BC=∠D′CB,又因为AB=AD′,所以有∠ABD′=∠EAC=30°，所以有∠ACD′=30°，从而发现AB=AC.证明的过程和上面分析的过程刚好相反，把AB=AC当作条件，利用等边三角形的性质以及旋转的性质即可证明.

试题解析：（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，

即∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD；      4分        

（2）【解析】
①∵∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°，

∵边AD′落在AE上，

∴旋转角=∠DAE=60°；         7分

②当AC=2AB时，BD′=CD′．

理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，

∴AB=BD=DD′=AD′

∴四边形ABDD′是菱形，

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°

∵△ACE是等边三角形，

∴AC=AE，∠ACE=60°，

∵AC=2AB，

∴AE=2AD′，

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，

∠ABD′=∠ACD′

∴BD′=CD′        11分

考点：1、旋转的性质；2、等边三角形的性质;3、全等三角形的判定.