Question

射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC//QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值                              （单位：秒）．

Answer

t=2或3≤t≤7或t=8

【解析】

试题分析：∵QN//AC   ∴∠NMB=∠A=60°  ∠MNB=∠C=60°   ∴△BMN是等边三角形    ∴MN=MB=2

分三种情况：①⊙P与AB相切（如图1），过点P作PF⊥AB于点F，当⊙P与AB相切时，PF=，

∵QN//AC   ∴∠AMP=∠A=60°  ∴∠FPM=30°

∴在△PFM中PM=2FM，由勾股定理可得：PM=2，∴QP=QM-PM=4-2=2即t=2；

               图1

②⊙P与AC相切，3≤t≤7

过点P作PG⊥AC于点G，当G与A重合时（如图2），

在Rt△PMG中∠PGM=30°  ∴GM=2PM，得PM=1，

由勾股定理可得：PG=，AC是⊙P的切线，

此时QP=QM-MP=4-1=3  即t=3；

当点P运动到图3位置时，可得NP=1，

此时QP=QM+NM+NP=4+2+1=7  即t=7，

∴3≤t≤7

               图2                                            图3

③⊙P与BC相切（如图4），

过点P作PH⊥BC于点H，当⊙P与BC相切时，PH=，

∵QN//AC   ∴∠CNP=∠C=60°  ∴∠HPN=30°

∴在△PHN中PN=2HN，由勾股定理可得：PN=2，∴QP=QM+NM+NP=4+2+2=8即t=8；

综上所述，t=2或3≤t≤7或t=8时⊙P与△ABC的边相切.

 图4

考点：1、切线的判定定理；2、等边三角形性质；3、平行线性质.