Question

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

Answer

（1）详见解析  （2）AD=2

【解析】

试题分析：（1）连接OT，由角平分线性质得∠CAT=∠OAT，再由OA=OT“等边对等角”，得到∠OAT=∠ATO，所以∠CAT=∠ATO由“内错角相等两直线平行”得到AC//OT，再由CT⊥AC得到OT⊥CT，从而得到CT为⊙O的切线；

（2）过O作OG⊥AC于点G，由CT⊥AC，OT⊥CT可得∠OTC=∠TCG=∠CGO=90°，再由“三个角是直角的四边形是矩形”得到四边形OTCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=CT=，再由勾股定理得AG=1，最后由垂径定理得AD=2AG=2.

试题解析：（1）连接OT，∵AT平分∠CAB

∴∠CAT=∠OAT

∵OA=OT

∴∠OAT=∠ATO

∴∠CAT=∠ATO

∴AC//OT

又∵CT⊥AC

∴ OT⊥CT

又∵OT是⊙O的半径

∴CT为⊙O的切线；

（2）过点O作OG⊥AD交AC于点G

又∵CT⊥AC      OT⊥CT

∴∠OTC=∠TCG=∠CGO=90°

∴四边形OTCG是矩形

∴OG=CT=

在Rt△OGA中，即解得AG=1

∵OG⊥AD

∴AD=2AG=2.

考点：1、切线的判定定理；2、矩形的判定及性质；3、垂径定理.