Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

Answer

（1）∠ABD=30°-α，详见解析；（2）△ABE是等边三角形，详见解析；（3）α=30°，详见解析；

【解析】

试题分析：（1）先由三角形内角和为180度和等腰三角形底角相等，得出∠ABC=90°-α，再用∠ABC—∠DBC可得∠ABD的度数；

（2）连接AD、CD、ED，由∠ABE=∠DBC=60°可得∠EBC=∠DBA=30°-α，在△CBE中由三角形内角和是180度，得到∠CEB=α，由SSS可得△ABD≌△ACD得到∠BAD=∠CAD=α，所以∠BAD=∠CEB，由AAS可得△ABD≌△EBC从而得到AB=EB，最后根据“有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形”得到△ABE是等边三角形；

（3）∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，若∠DEC=45°则∠CDE=45°得到DC=CE，由（1）知BD=CD，∠DBC=60°所以△DBC是等边三角形得到BC=DC，所以BC=CE，由等边对等角得到∠EBC=∠BEC即30°-α=α，解得α=30° .

试题解析：（1）∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=α

∴∠ABC=90°-α

∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，且∠DBC=60°

∴∠ABD=30°-α

（2）△ABE是等边三角形。证明如下：

连接AD、CD、ED

∵BC=BD，∠DBC=60°

∴△BCD是等边三角形

∴BD=CD

∵AB=AC，AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α

∠ACD=∠ABD=30°-α

∵∠ABE=∠DBC=60°

∴∠DBE+∠ABD=∠DBE+∠CBE

∴∠CBE=∠ABD=30°-α

∵∠BCE=150°

∴∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=α

∴∠BEC=∠BAD=α

∵BC=BD

∴△ABD≌△EBC（AAS）

∴AB=EB

∴△ABE是等腰三角形

∵∠ABE=60°

∴△ABE是等边三角形

（3）∵∠BCE=150°，∠BCD=60°

∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°

∵∠DEC=45°

∴△DCE是等腰直角三角形

∴CE=CD

∵BC=CD

∴BC=CE

∴∠CBE=∠BEC

∵由(2)知，∠CBE=30°-α，∠BEC=α

∴30°-α=α

∴α=30° .

考点：1、旋转图形的性质；2、全等三角形的判定；3、等腰三角形的性质.