Question

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．

（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：

① 分别求出直线l与双曲线的解析式；（3分）

② 若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？（4分）

（2）假设点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值. （2分）

Answer

（1）①反比例函数的解析式为，直线AB的解析式为y=-x+5；

②当时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；

（2）

【解析】

试题分析：（1）、①把点D或点E的坐标代入双曲线（a≠0，x＞0）中，易求反比例函数的解析式为，设直线AB的解析式为y=ax+b，再把点D或点E的坐标代入，可得一个二元一次方程组，求得直线AB的解析式为y = -x+5；

② 依题意可设向下平移m（m＞0）个单位后解析式为，直线l与双曲线有且只有一个交点即(整理得)的△=0即△=，

解得：，（舍去），即当时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；

(2)、过点D作DF⊥OA于F(如下图)，则△ADF∽△ABO得，即解得：DF=，AF=；所以OF=OA-AF=a-=，所以点D的坐标为（，），又因为点D在双曲线（a≠0，x＞0）上，所以×=a，所以.

试题解析：(1) ①易求反比例函数的解析式为，

直线AB的解析式为y = -x+5；        （5分）

② 依题意可设向下平移m（m＞0）个单位后解析式为，  

由，得，    

∵ 平移后直线l与反比例函数有且只有一个交点，∴△=，

∴ ，（舍去）.

即当时，直线l与反比例函数有且只有一个交点；(5分)

(2) .(2分)

考点：1、用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式；2、一元二次方程；3、相似三角形.