Question

如图，直线y=x+3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax²+bx﹣3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称．

（1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；

（2）求证：四边形ABCD是直角梯形．

Answer

(1) y=﹣x2﹣2x+3, （﹣1，4）； （2）证明如下.

【解析】

试题分析：（1）先根据直线y=x+3求得点A与点B的坐标，然后代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得其顶点坐标即可；

（2）根据B、D关于MN对称，C（-1，4），B（0，3）求得点D的坐标，然后得到AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形，再根据∠ABC=90°得到四边形ABCD是直角梯形．

试题解析：（1）∵y=x+3与坐标轴分别交与A、B两点，

∴A点坐标（﹣3，0）、B点坐标（0，3）.

∵抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A、B两点，

∴，解得.

∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3.

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点C的坐标为（﹣1，4）.

（2）∵B、D关于MN对称，C（﹣1，4），B（0，3），∴D（﹣2，3）.

∵B（3，0），A（﹣3，0），

∴OA=OB.

又∠AOB=90°，

∴∠ABO=∠BAO=45°.

∵B、D关于MN对称，

∴BD⊥MN.

又∵MN⊥X轴，∴BD∥X轴.

∴∠DBA=∠BAO=45°.

∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45°+45°=90°.

∴∠ABC=180°﹣∠DBO=90°.

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°.

∵CM⊥BD，∴∠MCB=45°.

∵B，D关于MN对称，

∴∠CDM=∠CBD=45°，CD∥AB.

又∵AD与BC不平行，

∴四边形ABCD是梯形.

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是直角梯形

考点：(1)二次函数；（2）直角梯形.