Question

已知关于x的一元二次方程x²＋2（m－2）x＋m²＋4＝0的两实数根是和.

（1）求m的取值范围；

（2）如果²＋²－＝21 ，求m的值.

Answer

详见解析

【解析】

试题分析：（1)m的取值范围，可由一元二次方程的根的判别式构建不等式求解。因为原方程有两实数根，所以△=b2-4ac≥0，将a、b、c代入解不等式即可求解。

利用一元二次方程的根与系数的关系，是解题的关键.由根与系数的关系可知：x1＋x2=-2(m-2)=4-2m,

x1·x2＝m²＋4，利用配方法把原方程化为一元二次方程的一般形式，即（x1＋x2）2-3x1·x2-21=0.所以（4-2m）2-3（m²+4）-21=0，解方程求解，再利用m的取值范围确定m的取值.

试题解析：

【解析】
(1）∵方程由两个实数根

∴△=b²－4ac＝4﹙m－2﹚²－4﹙m²＋4﹚≥0

∴m≤0

（2）由根与系数的关系知：x1＋x2＝﹣2（m－2）=4-2m，x1·x2＝m²＋4

∵ x1²＋x2²－x1·x2＝21

∴﹙x1＋x2﹚²－3x1·x2＝21

∴4﹙m－2﹚²－3﹙m²＋4﹚＝21

m²－16m－17＝0

﹙m－17﹚﹙m＋1﹚＝0

m1＝17，m2＝﹣1

∵m≤0

∴m＝﹣1

考点：一元二次方程根与系数的关系