Question

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形.

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明.

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系       .

Answer

详见解析.

【解析】

试题分析：

(1)判断和的数量关系，可通过证求解.判断和的位置关系，可延长交于点，求即可。

（2），理由是：过点作，，利用得出，由全等三角形得到面积相等,而,可得出，由到角两边距离相等的点在角的平分线上得为的角平分线，再由，及一对对顶角相等，可得，利用角平分线的定义即可求解.

（3）.如备用图，在上截取，由可得为等腰直角三角形，由勾股定理得,然后证，因为（理由：；由问题2中得；以及正方形的边.由可得全等）.根据全等三角形的对应边相等即可求证.

试题解析：

【解析】
（1），理由如下：如上图1，

∵四边形BEFG和ABCD为正方形

∴

∵在和中

∴

∴，

延长交于点，

∴

∴

∴

(2)，理由如下：如上图2

过点作，

在和中

∴

∴

∴

∴

∴平分

∵

∴

（3）

考点：1、正方形的性质.2、全等三角形的判定.3、角平分线的性质.4、勾股定理.