Question

在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数（x>0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由.

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C.当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标；②反比例函数（x>0）图象上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的，若存在，直接写出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由.

Answer

详见解析

【解析】

试题分析：（1）由⊙始终与轴相切，得，由⊙始终与轴相切于点，得，易得出四边形是矩形，再有圆的两半径，可得四边形是正方形.

①由四边形是菱形可得：，求三点的坐标，只要求出菱形的边长即圆的半径，问题就迎刃而解了.可设点的坐标为，过点作，则，，由勾股定理得，即，解方程求出的值，在利用点的坐标求出求三点的坐标.

②、如下图，根据（2）①可求菱形的面积的，即.由于点是两定点，若上存在点使，那么无论点在何位置都是与同底等高的三角形，由图可以看出有两种情况：即点分别位于的左、右两侧时，与的面积相等。因此可以过点分别作的平行线，该平行线与双曲线的交点即点的位置，由于先利用待定系数法求出直线的解析式，再求直线的解析式，最后用双曲线与直线的解析式构建方程组求解点的坐标.

试题解析：（1）【解析】
四边形为正方形

∵⊙与轴相切

∴

∵与轴相切与于点

∴

∵

∴四边形是矩形

∵

∴四边形是菱形

∴四边形是正方形.

①【解析】
∵四边形是菱形

∴

∴和是等边三角形

∴

过点作,设点P的坐标为,则

∵在中，

∴

解得：

∴

∴

∵点在第一象限

∴

∴，，

∴，

∴点的坐标为

②存在点使的面积等于菱形面积的，

点的坐标是或.

考点：1、正方形的判定.2、菱形的性质.3、平面直角坐标系中的动点问题.