Question

如图，P₁是反比例函数在第一象限图象上的一点，已知△P₁O A₁为等边三角形，点A₁ 的坐标为(2，0)．

（1）直接写出点P₁的坐标；

（2）求此反比例函数的解析式；

（3）若△P₂A₁A₂为等边三角形，求点A₂的坐标．

Answer

（1）P1(1，)；（2）；（3）（,0）.

【解析】

试题分析：（1）由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标；

（2）根据点P1是反比例函数y=（k＞0）图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；

（3）作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D=a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．

试题解析：（1）P1(1，)；

（2）∵P1在反比例函数（＞0）图象上，∴,

∴，

∴反比例函数的解析式为；

（3）设等边三角形P2 A1 A2的边长为a(a＞0)，则A2（2+a,0）.

如图，过P2作P2H⊥x轴，垂足为点H.

∴A1H=a，P2H= P2 A1sin∠P2A1H=a·sin600=,

∴P2(2+a,). 

∵ P2在反比例函数图象上，∴=，

 即，解得：，（舍去）

∴2+a=,∴A2（,0）

考点: 反比例函数综合题.