Question

如图，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=°，∠BOC=°

（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD,如图2所示. 求证：OD=OC。

（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示. 求证：OA=DE

（3）在（2）的基础上， 当、满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上。并直接写出AO+BO+CO的最小值。

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠α=∠β=120°，.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质就可以得出∠DOC=60°，OC=CD，进一步可以得出△DCO为等边三角形，即可以得出结论；

（2）根据旋转的性质就可以得出△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，再由全等的性质可以得出△EAD≌△ABO，从而就可以得出结论；

（3）根据旋转的性质就可以得出△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO，就可以得出∠α=∠β=120°，再利用勾股定理就可以求出结论．

试题解析：（1）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，

∴CO=CD，∠DOC=60°，

∴△COD是等边三角形，

∴DO=CO；

（2）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EDC，△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，

∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，

∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，

∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC，

即∠DAE=∠OBA，

在△EAD和△ABO中，

，

∴△EAD≌△ABO，

∴OA=DE；

（3）∵△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，

∴AB=BC=CE=AE，

∴四边形ABCE是菱形．

∵B、O、D、E在同一直线上，

∴B、O、D、E是菱形ABCE的对角线，

∴∠ABO=30°．

∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，

∴∠ADC=∠BOC=β，∠ADE=∠AOB=α，

∴∠CDE=360°-α-β．

∵△COD是正三角形，

∴∠COD=∠CDO=60°．

∵点B、O、D、E在同一直线上，

∴∠BOC=∠CDE=120°，

∴∠ADC=120°，

∴∠ADE=120°，

∴α=β=120°．

∴∠BAO=30°．

∴∠BAO=∠ABO，

∴AO=BO，

同理可得：AO=CO．

∴AO=BO=CO．

作OF⊥AB于F，设BF=a，则BO=2a，

∴∠BFO=90°，BF=AB=

在Rt△BOF中，由勾股定理，得

a=，

∴BO=，

∴AO+BO+CO=，

即AO+BO+CO的最小值为．

考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质；3.旋转的性质．