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如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线C1:y=x2+3先向右平移1个单位,再...

如图,在平面直角坐标系xOy中,将抛物线C1:y=x2+3先向右平移1个单位,再向下平移7个单位得到抛物线C2。C2的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)。

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(1)求抛物线C2的解析式;

(2)若抛物线C2的对称轴与x轴交于点C,与抛物线C2交于点D,与抛物线C1交于点E,连结AD、DB、BE、EA,请证明四边形ADBE是菱形,并计算它的面积;

(3)若点F为对称轴DE上任意一点,在抛物线C2上是否存在这样的点G,使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,请求出点G的坐标,如果不存在,请说明理由。

 

(1) y=x2-2x-3;(2)证明过程见解析,16;(3)G1(-2,5),G2(4,5),G3(2,-3). 【解析】 试题分析:(1)根据二次函数平移的规律:“左加右减,上加下减”,得出平移后解析式即可; (2)首先求出A,B两点的坐标,再利用顶点坐标得出AC=CB,CE=DE,进而得出四边形ADBE是平行四边形以及四边形ADBE是菱形,再利用三角形面积公式求出即可; (3)利用分OB为平行四边形的边和对角线两种情况:①当OB为平行四边形的一边时,②当OB为平行四边形的一对角线时分别得出即可. 试题解析:(1)∵将抛物线C1:y=x2+3先向右平移1个单位,再向下平移7个单位得到抛物线C2, ∴抛物线C1的顶点(0,3)向右平移1个单位,再向下平移7个单位得到(1,-4). ∴抛物线C2的顶点坐标为(1,-4). ∴抛物线C2的解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3; (2)证明:由x2-2x-3=0, 解得:x1=-1,x2=3, ∵点A在点B的左侧, ∴A(-1,0),B(3,0),AB=4. ∵抛物线C2的对称轴为x=1,顶点坐标D为(1,-4), ∴CD=4.AC=CB=2. 将x=1代入y=x2+3得y=4, ∴E(1,4),CE=DE. ∴四边形ADBE是平行四边形. ∵ED⊥AB, ∴四边形ADBE是菱形. S菱形ADBE=2××AB×CE=2××4×4=16. (3)存在.分AB为平行四边形的边和对角线两种情况: ①当OB为平行四边形的一边时,如图1, 设F(1,y), ∵OB=3,∴G1(-2,y)或G2(4,y). ∵点G在y=x2-2x-3上, ∴将x=-2代入,得y=5;将x=4代入,得y=5. ∴G1(-2,5),G2(4,5). ②当OB为平行四边形的一对角线时,如图2, 设F(1,y),OB的中点M,过点G作GH⊥OB于点H, ∵OB=3,OC=1,∴OM=,CM=. ∵△CFM≌△HGM(AAS),∴HM=CM=. ∴OH=2. ∴G3(2,-y). ∵点G在y=x2-2x-3上, ∴将(2,-y)代入,得-y=-3,即y=3. ∴G3(2,-3). 综上所述,在抛物线C2上是否存在这样的点G,使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形, 点G的坐标为G1(-2,5),G2(4,5),G3(2,-3). 考点: 二次函数综合题.
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