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如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别...

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )

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①AD是∠BAC的平分线; ②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3

A.1            B.2         C.3               D.4

 

D. 【解析】 试题分析: ①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.故①正确; ②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠1=∠2=∠CAB=30°,∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.故②正确; ③∵∠1=∠B=30°,∴AD=BD,∴点D在AB的中垂线上.故③正确; ④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,∴CD=AD,∴BC=CD+BD=AD+AD=AD, S△DAC=AC•CD=AC•AD,∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD, ∴S△DAC:S△ABC=AC•AD:AC•AD=1:3.故④正确. 综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个. 故选D. 考点:1.角平分线的性质;2.线段垂直平分线的性质;3.作图—基本作图.
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考点分析:
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