Question

【提出问题】

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．

【类比探究】

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立，理由见试题解析；（3）∠ABC=∠ACN，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；

（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样；

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（2）【解析】
结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：

∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（3）【解析】
∠ABC=∠ACN．理由如下：

∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，则，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的性质．